已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，①(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
)2=3(
A1B1
)2；②
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0；③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|
AB
•
AA1
•
AD
|．其中正確的命題是
①②
①②
（寫(xiě)出所有正確命題編號(hào)）
分析：本題考查的是用向量的知識(shí)和方法研究正方體中的線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系及夾角與體積．用到向量的加法、減法、夾角及向量的數(shù)量積，研究了正方體中的線(xiàn)線(xiàn)平行、垂直，異面直線(xiàn)的夾角及正方體的對(duì)角線(xiàn)的計(jì)算、體積的計(jì)算．
解答：解：①由向量的加法得到：
A1A
+
A1D1
+
A1B1
=
A1C
，∵A1C2=3A1B12，∴(
A1C
)2=3(
A1B1)
2，所以①正確；
②∵
A1B1
-
A1A
=
AB1
，AB1⊥A1C，∴
A1C
•
AB1
=0，故②正確；
③∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C=60°，又A1B∥D1C，∴異面直線(xiàn)AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量
AD1
與向量
A1B
的夾角是120°，
故③不正確；
④∵AB⊥AA1，∴
AB
•
AA1
=0，故|
AB
•
AA1
•
AD
|=0，因此④不正確．
故答案為①②．
點(diǎn)評(píng)：本題把正方體中的線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查．熟練掌握正方體中的線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)方法是做好本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，
（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的體積；
（2）求A1B和B1C所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，E為C1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)F為A1D的中點(diǎn)．
（1）求證：A1B⊥平面AB1D；
（2）求證：平面A1B1CD⊥平面AFC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線(xiàn)交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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