Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx-1，sin（2x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow$=（1，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{c}$=（cosx，1），f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC的角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$，求解出函數(shù)f（x）的解析式，化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；即可求在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）根據(jù)a²，b²，c²成等差數(shù)列，c²+a²=2b²建立關(guān)系，即可求f（B）的取值范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx-1，sin（2x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow$=（1，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{c}$=（cosx，1），
∵f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$
∴f（x）=2sinxcosx+sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z
∴在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{12}$]和[$\frac{2π}{3}，π$]
（2）由題意a²，b²，c²成等差數(shù)列，
∴c²+a²=2b²，
由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，
∵c²+a²≥2ac，
∴cosB•4ac≥2ac，
cosB$≥\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴0＜B$≤\frac{π}{3}$．
那么：f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{3}$）
∴$\frac{π}{3}＜$2B+$\frac{π}{3}$≤π
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]
故得f（B）的取值范圍是[0，2]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．