Question

8．已知函數(shù)f（x）=2cos²2x-2，給出下列命題：
①?β∈R，f（x+β）為奇函數(shù)；
②?α∈（0，$\frac{3π}{4}$），f（x）=f（x+2α）對(duì)x∈R恒成立；
③?x₁，x₂∈R，若|f（x₁）-f（x₂）|=2，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$；
④?x₁，x₂∈R，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）．其中的真命題有（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），畫出f（x）的圖象，根據(jù)圖象平移判斷函數(shù)f（x+β）不是奇函數(shù)，判斷①錯(cuò)誤；
根據(jù)f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，$\frac{3π}{4}$）的解，判斷②正確；
由|f（x₁）-f（x₂）|=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{4}$，判斷③正確；
當(dāng)f（x₁）=f（x₂）=0時(shí)，x₁-x₂=kT=$\frac{kπ}{2}$，判斷④錯(cuò)誤．

解答 解：由題意，f（x）=2cos²2x-2=cos4x-1；
對(duì)于①，∵f（x）=cos4x-1的圖象如圖所示；
函數(shù)f（x+β）的圖象是f（x）的圖象向左或向右平移|β|個(gè)單位，
它不會(huì)是奇函數(shù)的，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x-1=cos（4x+8α）-1，
∴8α=2kπ，∴α=$\frac{kπ}{4}$，k∈Z；
又α∈（0，$\frac{3π}{4}$），∴取α=$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{2}$時(shí)，
∴f（x）=f（x+2α）對(duì)x∈R恒成立，②正確；
對(duì)于③，|f（x₁）-f（x₂）|=|cos4x₁-cos4x₂|=2時(shí)，
|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{2×4}$=$\frac{π}{4}$，∴③正確；
對(duì)于④，當(dāng)f（x₁）=f（x₂）=0時(shí)，
x₁-x₂=kT=k•$\frac{2π}{4}$=$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），∴④錯(cuò)誤；
綜上，真命題是②③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的應(yīng)用問題，是綜合題．