Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是①③⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

Answer 1

分析 舉例說明命題①⑤是真命題；舉反例說明命題②是假命題；假設(shè)直線l過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，設(shè)直線l為y=kx，把兩整點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差的那個(gè)點(diǎn)也為整點(diǎn)且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，得到命題③為真命題；當(dāng)k，b都為有理數(shù)時(shí)，y=kx+b可能不經(jīng)過整點(diǎn)，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，說明④是假命題．

解答 解：①令y=x+$\frac{1}{2}$，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，命題①正確；
②若k=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經(jīng)過（-1，0），命題②錯(cuò)誤；
③設(shè)y=kx為過原點(diǎn)的直線，若此直線l過不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，則③正確；
④當(dāng)k，b都為有理數(shù)時(shí)，y=kx+b可能不經(jīng)過整點(diǎn)，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，故④不正確；
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），命題⑤正確．
綜上，命題正確的序號(hào)有：①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，說明一個(gè)命題為假命題，只需舉一反例即可，要說明一個(gè)命題是真命題必須經(jīng)過嚴(yán)格的說理證明，考查學(xué)生對(duì)題中新定義的理解能力，是中檔題．