Question

20．命題p：a（1-a）＞0；命題q：y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，則a的取值范圍是（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 命題p：a（1-a）＞0；解得0＜a＜1．命題q：y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，則（2a-3）²-4＞0．如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p與q必然一真一假．

解答 解：命題p：a（1-a）＞0；解得0＜a＜1．
命題q：y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，則（2a-3）²-4＞0，解得$a＜\frac{1}{2}$或a$＞\frac{5}{2}$．
如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
解得$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≤0或$a＞\frac{5}{2}$．
則a的取值范圍是（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．
故答案為：（-∞，0]∪$[\frac{1}{2}，1）$∪$（\frac{5}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．