Question

13．若直線(xiàn)y=kx+b是曲線(xiàn)y=e^x-2的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)y=e^x-2的切線(xiàn)，則k=1．

Answer 1

分析 先設(shè)切點(diǎn)，然后利用切點(diǎn)來(lái)尋找切線(xiàn)斜率的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可．

解答 解：設(shè)y=kx+b與曲線(xiàn)y=e^x-2的切線(xiàn)，曲線(xiàn)y=e^x-2的切點(diǎn)分別為（x₁，e${\;}^{{x}_{1}-2}$）、（x₂，e${\;}^{{x}_{2}}$-2）；
∵y=e^x-2的切線(xiàn)，曲線(xiàn)y=e^x-2
∴y′=e^x-2，y′=e^x，
∴k=e^x₁-2=e${\;}^{{x}_{2}}$，
∴x₁-x₂=2，①
切線(xiàn)方程分別為y-e${\;}^{{x}_{1}-2}$=e${\;}^{{x}_{1}-2}$（x-x₁），即為y=e${\;}^{{x}_{1}-2}$x+（1-x₁）e${\;}^{{x}_{1}-2}$，
或y-（e${\;}^{{x}_{2}}$-2）=e${\;}^{{x}_{2}}$（x-x₂），即為y=e${\;}^{{x}_{2}}$x+（1-x₂）e${\;}^{{x}_{2}}$-2，
解得（1-x₁）e${\;}^{{x}_{1}-2}$=（1-x₂）e${\;}^{{x}_{2}}$-2，②
由①②解得x₁=2，x₂=0，
則有k=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程，正確設(shè)出切點(diǎn)和運(yùn)用直線(xiàn)方程是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．