Question

試判斷|a|≥3 是關(guān)于x的方程x²+ax+1=0在區(qū)間[-1，1]上有解的什么條件？并給出判斷理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意知方程在區(qū)間上有且只有一個根，由函數(shù)零點的存在定理，函數(shù)f（x）=x²+ax+1滿足f（1）f（5）≤0，由此求得實數(shù)a的取值范圍，進而結(jié)合充要條件的定義，可得答案．

解答： 解：由于方程x²+ax+1=0有解，設(shè)它的兩個解分別為 x₁，x₂，則x₁•x₂=1，
故方程x²+ax+1=0在區(qū)間[-1，1]上有唯一解．
設(shè)f（x）=x²+ax+1，則有f（-1）f（1）≤0，即 （-a+2）（a+1）≤0，
解得a≤-1，或x≥2，
解|a|≥3得：a≤-3，或a≥3，
∵{a|a≤-3，或x≥3}?{a|a≤-1，或x≥2}，
故|a|≥3 是關(guān)于x的方程x²+ax+1=0在區(qū)間[-1，1]上有解的充分不必要條件．

點評：本題考查一元二次方程根的分布于系數(shù)的關(guān)系，如果方程在某區(qū)間上有且只有一個根，可根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進行解答，本題解題的關(guān)鍵是對于所給的條件的轉(zhuǎn)化，本題是一個中檔題目．