Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂．若橢圓上存在一點(diǎn)P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），則求該橢圓離心率e的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，結(jié)合已知和余弦定理可將已知條件可轉(zhuǎn)化為：橢圓上存在一點(diǎn)P使∠F₁PF₂=120°，進(jìn)而可得離心率e的范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，
∵橢圓上存在一點(diǎn)P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），
∴π-∠F₁PF₂=∠BOF₂，
而當(dāng)P與B重合時(shí)，∠F₁PF₂取最大值，此時(shí)∠F₁PF₂=120°
故已知條件可轉(zhuǎn)化為：橢圓上存在一點(diǎn)P使∠F₁PF₂=120°，
即∠F₁BF₂≥120°，
即-1＜

a2+a2-(4c)2

2a2

≤-

1

2

即

3

4

≤

c2

a2

＜1，
即

3

4

≤e2＜1，
解得：e∈[

3

2

，1），
故橢圓離心率的取范圍是[

3

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F₁PF₂值最大，這個(gè)結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來(lái)解決這一類的問(wèn)題．