Question

設(shè)α，β分別是關(guān)于x的方程log₂x+x-4=0和2^x+x-4=0的根，則α+β=

 

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Answer 1

分析：分別作出函數(shù)y=log₂x，y=2^x，y=4-x的圖象相交于點(diǎn)P，Q．利用log₂α=4-α，2^β=4-β．而y=log₂x（x＞0）與y=2^x互為反函數(shù)，直線y=4-x與直線y=x互相垂直，
點(diǎn)P與Q關(guān)于直線y=x對稱．即可得出．

解答：解：分別作出函數(shù)y=log₂x，y=2^x，y=4-x的圖象，相交于點(diǎn)P，Q．
∵log₂α=4-α，2^β=4-β．
而y=log₂x（x＞0）與y=2^x互為反函數(shù)，直線y=4-x與直線y=x互相垂直，
∴點(diǎn)P與Q關(guān)于直線y=x對稱．
∴α=2^β=4-β．
∴α+β=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查了同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質(zhì)、相互垂直的直線之間的關(guān)系，屬于難題．