Question

11．某中學(xué)校辦工廠生產(chǎn)某種教學(xué)模型的固定成本是10萬元，每生產(chǎn)1千個(gè)，需另投入2.7萬元，設(shè)該廠一年內(nèi)共生產(chǎn)這種教學(xué)模型x（0＜x＜10）千個(gè)，并全部銷售完，每千個(gè)的銷售收入為p（x）萬元且p（x）=10.8-$\frac{{x}^{2}}{30}$．當(dāng)年產(chǎn)量為多少千個(gè)時(shí)，該廠在這種教學(xué)模型的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是多少？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x＜10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-10，由W′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，可得函數(shù)的單調(diào)性，得x=9，推導(dǎo)出當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且w_max=38.6．

解答 解：當(dāng)0＜x＜10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-10，
由W′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，w′＞0，
當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，w′＜0．
∴當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且w_max=8.1×9-$\frac{1}{30}×{9}^{3}$-10=38.6
∴當(dāng)年產(chǎn)量為9千個(gè)時(shí)，該廠在這種教學(xué)模型的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是38.6萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的應(yīng)用，屬于中檔題．