已知拋物線C：y=mx2（m＞0），焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q，
（1）若拋物線C上有一點R（xR，2）到焦點F的距離為3，求此時m的值；
（2）是否存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

【答案】分析：（1）先求出焦點坐標(biāo)，再利用拋物線的定義把焦點F的距離為3轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為3即可求m的值；（也可以直接利用兩點間的距離公式求解．）
（2）△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形即是，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，可以得到A，B兩點的坐標(biāo)進(jìn)而求得P以及Q的坐標(biāo)，代入，即可求出m的值．
解答：解：（1）∵拋物線C的焦點，
∴，得．
（2）聯(lián)立方程，
消去y得mx2-2x-2=0，設(shè)A（x1，mx12），B（x2，mx22），
則（*），
∵P是線段AB的中點，∴，即，∴，
得，
若存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則，
即，
結(jié)合（*）化簡得，
即2m2-3m-2=0，∴m=2或（舍去），
∴存在實數(shù)m=2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形．
點評：本題考查拋物線的應(yīng)用以及直線與拋物線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N．
（Ⅰ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k使
NA
•
NB
=0，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=ax2，點P（1，-1）在拋物線C上，過點P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0．
（I）求拋物線C的焦點坐標(biāo)；
（II）若點M滿足
BM
=
MA
，求點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：(x-1)2+(y-
12
)2=r2（r＞0）有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）設(shè)m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點為D，求D到l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=
1
2
x2與直線l：y=kx-1沒有公共點，設(shè)點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）若點P與（1）中的定點Q的連線交拋物線C于M，N兩點，證明：
|PM|
|PN|
=
|QM|
|QN|
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•宿州三模）已知拋物線C：y=
1
4
x2-
3
2
xcosθ+
9
4
cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）當(dāng)θ變化時，求拋物線C的頂點的軌跡E的方程；
（II）已知直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交（I）中軌跡E于A、B兩點，若
AB
=2
AM
，求直線l的方程．

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