（2010•宿州三模）已知拋物線C：y=
1
4
x2-
3
2
xcosθ+
9
4
cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）當(dāng)θ變化時，求拋物線C的頂點的軌跡E的方程；
（II）已知直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交（I）中軌跡E于A、B兩點，若
AB
=2
AM
，求直線l的方程．
分析：（I）先將拋物線方程然后用θ表示出拋物線的頂點坐標(biāo)
x0=3cosθ
y0=2sinθ
，消去θ，即得拋物線C的頂點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）先求得圓心M（-2，1），由于
AB
=2
AM
，所以M是AB的中點，設(shè)l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程消去y借助于根與系數(shù)的關(guān)系，利用M是AB的中點，可求直線方程．
解答：解：（I）將拋物線方程配方得y=
1
4
(x-3cosθ)2+2sinθ，
設(shè)拋物線的頂點為p（x0，y0），則
x0=3cosθ
y0=2sinθ
，消去θ得
x
2
0
9
+
y
2
0
4
=1．
故拋物線C的頂點P的軌跡E的方程：
x
2
 
9
+
y
2
 
4
=1．…（5分）
（Ⅱ）由x2+y2+4x-2y=0得圓心M（-2，1），
∵
AB
=2
AM
∴M是AB的中點，易得直線l不垂直x 軸，
可設(shè)l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程得：（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
36k2+18k
4+9k2
，
∵M(jìn)是AB的中點，∴-
36k2+18k
4+9k2
=-4，解得k=
8
9
．
∴直線l的方程為y=
8
9
(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）
點評：本題主要考查參數(shù)法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組的方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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（2010•宿州三模）已知二次曲線
x2
4
+
y2
m
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π
6
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π
6
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2
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4
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π
4
處的切線方程是（　　）

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x-y+5≥0
x+y≥a
0≤x≤2
所表示的平面區(qū)域是一個三角形，則此平面區(qū)域面積的最大值
4
4
．

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（2010•宿州三模）已知函數(shù)f（x）=x2-2alnx，g(x)=
13
x3-x2．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g'（x）對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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