Question

5．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}tan\frac{πx}{4}，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{4}）^{x}+1，x＞1}\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1．

Answer 1

分析 易知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，作函數(shù)y=f（x）的圖象，由方程化簡(jiǎn)可解得f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，
故作函數(shù)y=f（x）的圖象如下，
，
∵5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
∴（f（x）-a）（5f（x）-6）=0，
∴f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，
∵1＜$\frac{6}{5}$＜$\frac{5}{4}$，∴f（x）=$\frac{6}{5}$有四個(gè)不同的解，
∴f（x）=a有兩個(gè)不同的解，
即y=f（x）與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
故a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1；
故答案為：a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷及函數(shù)的圖象的作法與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．