Question

3．設(shè)G是△ABC的重心，且$（sinA）\;\overrightarrow{GA}+（sinB）\;\overrightarrow{GB}+（sinC）\;\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，則∠B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)重心的性質(zhì)，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及$\overrightarrow{GA}$與$\overrightarrow{GB}$不共線，可得sinA=sinB=sinC得到a=b=c，問題得以解決．

解答 解：∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overline{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{GB}$=-（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GC}$）．
∵$（sinA）\;\overrightarrow{GA}+（sinB）\;\overrightarrow{GB}+（sinC）\;\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，
∴sinA$\overrightarrow{GA}$-sinB（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GC}$）+sinC$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
化為（sinA-sinB）$\overrightarrow{GA}$+（sinC-sinB）$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{GA}$與$\overrightarrow{GB}$不共線，
∴sinA-sinB=sinC-sinB=0，
∴sinA=sinB=sinC．
∴a=b=c．
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評 本題考查了三角形的重心性質(zhì)、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．