Question

已知奇函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定義域?yàn)镽，其圖象C關(guān)于直線x=對(duì)稱，又f（x）在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）將圖象C向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
①化簡(jiǎn)，并求值：+4f（10°）；
②若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）+m在區(qū)間[0，]上有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且ω＞0，得
ω•=kπ+（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以0≤ω•x≤ω•≤，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-）=sin（2x-）=-cos2x．…（6分）
①原式=
=
= …（7分）
=
= …（8分）
= …（9分）
=
=．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）．…（11分）
易知函數(shù)y=sin（2x+）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．…（12分）
又當(dāng)x=0時(shí)，f（x）-g（x）=1；
當(dāng)x=時(shí)，f（x）-g（x）=；
當(dāng)x=時(shí)，f（x）-g（x）=．…（13分）
故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m=或1≤m＜．…（14分）
分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合φ的范圍，求出φ，利用函數(shù)的對(duì)稱軸，求出ω，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）將圖象C向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象即可得到表達(dá)式，
①推出+4f（10°），利用二倍角公式，化簡(jiǎn)整理可求結(jié)果；
②通過(guò)方程f（x）=g（x）+m，表示出m，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，以及在區(qū)間[0，]上有唯一實(shí)根，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．