Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）的圖象上，且過(guò)點(diǎn)P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）若b_n=2^kn•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴S_n=n²+2n，（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3；（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n（n-1）²-2（n-1）2n+1，（5分）
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足，故a_n=2n+1．（6分）
（2）由f（x）=x²+2x，求導(dǎo)可得f'（x）=2x+1，∵過(guò)點(diǎn)P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n
∴k_n=2n+2．
又∵b_n=2^k_n•a_n，∴b_n=2²ⁿ⁺²•（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ．（8分）
∴T_n=4×3×4+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ①
由①×④可得：4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹②
①-②可得：-3T_n=4×[3×4+2•（4²+4³+…+4ⁿ）-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]（10分）
=4×[3×4+2×]∴T_n=．（12分）
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，得到S_n的表達(dá)式，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題中條件求出k_n的表達(dá)式，結(jié)合（1）求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以利用錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，屬于中檔題．