Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}，e=\frac{c}{a}）$，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，關于橢圓有以下四種說法：
（1）設A為橢圓上任一點，其到直線${l_1}：x=-\frac{a^2}{c}，{l_2}：x=\frac{a^2}{c}$的距離分別為d₂，d₁，則$\frac{{|A{F_1}|}}{d_1}=\frac{{|A{F_2}|}}{d_2}$；
（2）設A為橢圓上任一點，AF₁，AF₂分別與橢圓交于B，C兩點，則$\frac{{|A{F_1}|}}{{|{F_1}B|}}+\frac{{|A{F_2}|}}{{|{F_2}C|}}≥\frac{{2（1+{e^2}）}}{{1-{e^2}}}$（當且僅當點A在橢圓的頂點取等）；
（3）設A為橢圓上且不在坐標軸上的任一點，過A的橢圓切線為l，M為線段F₁F₂上一點，且$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，則直線AM⊥l；
（4）面積為2ab的橢圓內接四邊形僅有1個．
其中正確的有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的第二定義可知$\frac{A{F}_{1}}{wdhili7_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{cp6u42b_{1}}=e$；
（2），分別取點A為橢圓的四個頂點驗證，符合題意；
（3），由$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，得AM為∠F₁AF₂的角平分線，得直線AM⊥l；
（4），當四邊形的四個頂點為橢圓的定點時和分布在四個象限都可以．

解答 解：對于（1）根據(jù)橢圓的第二定義可知$\frac{A{F}_{1}}{r38i7v3_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{fm8tn1q_{1}}=e$，故錯；
對于（2），分別取點A為橢圓的四個頂點驗證，符合題意，故正確；
對于（3），A為橢圓上且不在坐標軸上的任一點，過A的橢圓切線為l，則∠F₁AF₂的角平分線垂直l，∵$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，∴AM為∠F₁AF₂的角平分線，故正確；
對于（4），當四邊形的四個頂點為橢圓的定點時和分布在四個象限都可以，故錯．
故答案為：B．

點評 本題考查了橢圓的性質，比較難，但可以采用特殊情況驗證法判定，屬于壓軸題．