Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}$+2x-a，x=2是f（x）的一個極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求方程f（x）=0的解的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）=0，求出b的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值，通過討論a的范圍，判斷f（1），f（2）的符號，從而求出方程解的個數(shù)即可．

解答 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一個極值點(diǎn)，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-a
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{5}{6}$-a，f（x）_極小值=f（2）=$\frac{2}{3}$-a，
a＞$\frac{5}{6}$時，f（1）＜0，方程f（x）=0有1個解，
a=$\frac{5}{6}$時，f（1）=0，方程f（x）=0有2個解，
$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{5}{6}$時，f（1）＞0，f（2）＜0，方程f（x）=0有3個解，
a=$\frac{2}{3}$時，f（1）＞0，f（2）=0，方程f（x）=0有2個解，
a＜$\frac{2}{3}$時，f（1）＞0，f（2）＞0，方程f（x）=0有1個解．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．