Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中，曲線的極坐標方程.以極點為原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系，且在兩坐標系中取相同的長度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程；

（2）過曲線上任意一點作與直線相交的直線，該直線與直線所成的銳角為，設交點為，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）， （2）點坐標為時， ，點的坐標為時， .

【解析】【試題分析】（1）對曲線的極坐標方程兩邊乘以轉化為直角坐標方程，配方得到圓心和半徑，然后直接寫出圓的參數(shù)方程.將直線的參數(shù)方程利用加減消元法消去，可求得直線的普通方程.（2）設圓上任意一點到直線的距離為，則，由此利用點到直線的距離公式可求得的最大值和最小值，也即是的最大值和最小值.

【試題解析】

（1）曲線C的直角坐標方程為，

表示圓心為，半徑為的圓，

化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）

直線的普通方程為.

（2）由題知點到直線的距離，

設點.

則有點到直線的距離，

其中， ，

當，即時， ， ，

此時， ， ；

當即時， ， ，

此時， ， .

綜上，點坐標為時， ，點的坐標為時， .