Question

10．已知a，b是平面α內(nèi)的兩條相交直線，且直線n⊥a，n⊥b，求證：n⊥α

Answer 1

分析 證明直線與平面垂直，根據(jù)定義，需證明直線與平面內(nèi)的任一直線垂直，故可利用平面向量基本定理，將平面內(nèi)的任一向量用一組基底表示，證明當(dāng)直線與基底垂直時(shí)，就垂直于平面內(nèi)的任一向量，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得證．

解答 解：設(shè)直線a的方向向量為$\overrightarrow{a}$，直線b的方向向量為$\overrightarrow$，直線n的方向向量為$\overrightarrow{n}$，
∵a，b是平面α內(nèi)的兩條相交直線，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，設(shè)平面α內(nèi)的任一向量為$\overrightarrow{m}$，由平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)λ，μ，使：$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，
又∵n⊥a，n⊥b，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{n}$•（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$）=λ$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{n}•\overrightarrow$=0
∴$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{m}$，
∴直線n垂直于平面α內(nèi)的任意直線，由線面垂直的定義得：l⊥α

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面垂直的判定定理及其證明方法，平面向量基本定理的應(yīng)用，利用平面向量解決幾何問題的方法，屬于中檔題．