Question

（2007•溫州一模）如圖，設(shè)A（-2，0），B（2，0），直線l：x=1，點(diǎn)C在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上，且滿足

AP

•

AC

=0．
（Ⅰ）若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)A（-2，0），B（2，0），C（1，1）我們可求出

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，1)，進(jìn)而根據(jù)

AP

•

AC

=0，P點(diǎn)在BC上，結(jié)合向量數(shù)量的公式，構(gòu)造x，y的方程組，解方程組，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（II）設(shè)P（x，y），C（1，h），由已知可得

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，h)，

CP

=(x-1，y-h)，

BC

=(-1，h)進(jìn)而根據(jù)

AP

•

AC

=0，P點(diǎn)在BC上，結(jié)合向量數(shù)量的公式，構(gòu)造x，y，h的方程組，消掉h后，即可得到點(diǎn)P的軌跡E的方程．

解答：解：（I）設(shè)P（x，y），則

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，1)，

CP

=(x-1，y-1)，

BC

=(-1，1)
由題意得：y+x-2=0，y+3（x+2）=0，則x=-4，y=6，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，6）
（II）設(shè)P（x，y），C（1，h），

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，h)，

CP

=(x-1，y-h)，

BC

=(-1，h)
則由題意得：y+h（x-2）=0，hy+3（x+2）=0，---（10分）
消去h得點(diǎn)P的軌跡E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．---（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，軌跡方程，其中（2）中熟練掌握利用坐標(biāo)法，求軌跡方程的方法和步驟，是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．