【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò);
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
【答案】C
【解析】
將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù),結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍,利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.
由得,,,
所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.
由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò). 結(jié)論②正確.
如圖所示,易知,
四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤.
故選C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
①函數(shù)的值域是,則函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
②把函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍,然后再向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為;
③已知,則與共線的單位向量為;
④一條曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m,則m的值不可能是1.
其中正確的有___________(寫出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果直線a平行于平面,則( )
A.平面內(nèi)有且只有一直線與a平行
B.平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行
C.平面內(nèi)不存在與a平行的直線
D.平面內(nèi)的任意直線與直線a都平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題
①若三個(gè)平面兩兩相交,則它們的交線只能平行或重合;
②若a、b是異面直線,則過(guò)不在a、b上的任一點(diǎn)一定可以作一條直線和a、b都相交;
③正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b,若過(guò)SA、SB的中點(diǎn)作平行于側(cè)棱SC的截面,則截面面積為;
④過(guò)球面上任意給定兩點(diǎn)的平面與球面相截時(shí)其截面面積最大,則這樣的平面只有一個(gè).
其中( ).
A. 只有①,②成立.
B. 只有③成立.
C. 只有④ 成立.
D. ①、②、③、④都不成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,是矩形,平面,,,四棱錐外接球的球心為,點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).給出如下命題:①直線與直線所成的角中最小的角為;②與一定不垂直;③三棱錐的體積為定值;④的最小值為.其中正確命題的序號(hào)是__________.(將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn),以為直徑作圓,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,試探究:當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)求直線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面,垂直于和,為棱上的點(diǎn),,.
(1)若為棱的中點(diǎn),求證:平面;
(2)當(dāng)時(shí),求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問(wèn)條件下,設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成的角為,求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽子3個(gè),肉粽子2個(gè),白粽子5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個(gè).
(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;
(2)設(shè)ξ表示取到的豆沙粽子個(gè)數(shù),求ξ的分布列.
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