Question

11．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對角線A₁C₁的兩個不同的動點．
①存在M，N兩點，使BP⊥DQ；
②體對角線BD₁垂直平面DPQ；
③若|PQ|=1，S_△BPD∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
④若|PQ|=1，則四面體BDPQ在平面ABCD上的正投影面積為定值；
⑤若|PQ|=1，則四面體BDPQ的體積隨著線段PQ移動而變化；
以上命題為真命題的有①②④．

Answer 1

分析 P與A₁點重合，Q與C₁點重合，可判斷①；體對角線BD₁垂直平面A₁C₁D，可判斷②；求出S_△BPD的范圍，可判斷③；求出四面體BDPQ在平面ABCD上的正投影面積，可判斷④；根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷⑤．

解答 解：當(dāng)P與A₁點重合，Q與C₁點重合時，BP⊥DQ，

故①正確；
體對角線BD₁垂直平面A₁C₁D，
即體對角線BD₁垂直平面DPQ，
故②正確；
當(dāng)P與A₁重合時，S_△BPD取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)Q與C₁重合時，S_△BPD取最小值$\frac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2}$，
即S_△BPD∈[$\frac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
故③錯誤；
④若|PQ|=1，則四面體BDPQ在平面ABCD上的正投影面積為定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故④正確；
設(shè)平面A₁B₁C₁D₁兩條對角線交點為O，則易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，
高之和為PQ的棱錐，故四面體BDPQ的體積一定是定值，
故⑤錯誤；
故答案為：①②④

點評 本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，是空間異面直線關(guān)系，棱錐體積，投影的綜合應(yīng)用，難度較大．