Question

19．已知幾何體由兩個直棱柱組合而成，其三視圖和直觀圖如圖所示．設(shè)兩異面直線A₁Q，PD所成的角為θ，則cosθ的值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 先作出異面直線所成的角的平面角，即連接QC，再證明∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角），最后在△A₁QC中計算此角的余弦值即可．

解答 解：這個幾何體的直觀圖如圖，
這個幾何體可看成是由邊長為2的正方體AC₁及
底面邊長為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，側(cè)棱長為2的直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的組合體，
由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角），
由題設(shè)知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6，
CA₁=$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，取BC中點E，則QE⊥BC，
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10，
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=$\frac{6+10-12}{2\sqrt{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查了空間想象能力，由三視圖作出幾何體的直觀圖，異面直線所成的角的定義及其求法．