Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和，且對任意n∈N^*都有S_n=2（a_n-1），記f（n）=

3n

2nSn

．
（1）求a_n；
（2）試比較f（n+1）與

3

4

f（n）的大�。�
（3）證明：①f（k）+f（2n-k）≥2f（n），其中k≤n且k∈N^*；②（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1求a_n的通項(xiàng)公式，
（2）求出S_n的表達(dá)式，f（n+1）與

3

4

f（n）作差比較大小，
（3）利用基本不等式證明①，利用①證明（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）；利用f(n+1)＜

3

4

f(n)及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和證明f（1）+f（2）+…+f（2n-1）＜3．

解答： 解：（1）當(dāng) n=1時(shí)，S₁=a₁=2，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴an=2n．
（2）∵Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，
∴f(n+1)-

3

4

f(n)=

3n+1

2n+1(2n+2-2)

-

3

4

3n

2n(2n+1-2)

=

3n+1

2n+2

(

1

2n+1-1

-

1

2n+1-2

)＜0，
∴f(n+1)＜

3

4

f(n)．
（3）證明：①f(k)+f(2n-k)=

3k

2k(2k+1-2)

+

32n-k

22n-k(22n-k+1-2)

≥2•(

3

2

)n•

1 (2k+1-2)(22n-k+1-2)

，
而(2k+1-2)(2 2n-k+1-2)=22n+2+4-(2k+2+22n-k+2)≤22n+2+4-2

2k+2•22n-k+2

=(2n+1-2)2，
∴f(k)+f(2n-k)≥2•(

3

2

)n•

1 (2k+1-2)(22n-k+1-2)

≥2(

3

2

)n•

1

2n+1-2

=2f(n)．
②由①知，f（1）+f（2n-1）≥2f（n），f（2）+f（2n-2）≥2f（n），…，f（2n-1）+f（1）≥2f（n）；
相加得f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），當(dāng)n=1時(shí)取等號；
∵f(n+1)＜

3

4

f(n)＜(

3

4

)2f(n-1)＜…＜(

3

4

)nf(1)和f(1)=

3

4

，
∴f（1）+f（2）+…+f（2n-1）＜f(1)+

3

4

f(1)+(

3

4

)2f(1)＜…＜(

3

4

)2n-2f(1)=

3

4

•4•[1-(

3

4

)2n-1]=3[1-(

3

4

)2n-1]＜3
原不等式成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，基本不等式及放縮法證明不等式等，屬于難題．