Question

在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“⊕”如下：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b=a，當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b=b²．已知函數(shù)f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2），若對任意x∈[-3，2]，f（x）≥-5恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

（“•”“-”仍為通常的乘法與減法）

Answer 1

分析：由已知中，新運(yùn)算“⊕”的定義：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b=a，當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b=b²．結(jié)合x∈[-3，2]，我們要分類討論，即將區(qū)間[-3，2]，分為[-3，m]，（m，2），{2}三種情況進(jìn)行討論，分別求出滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：當(dāng)x=2時(shí)，
f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）=8-4=4
對任意m＜2均成立；
當(dāng)x∈[-3，2）時(shí)，若x∈[-3，m]，
則f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）
=2x-m，
若f（x）≥-5恒成立，則-6-m≥-5，解得m≤-1
若x∈（m，2），
則f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）
=2x-x²，
若f（x）≥-5恒成立，若f（x）≥-5恒成立，則2m-m²≥-5
即1-

6

≤m≤1+

6

綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是 [1-

6

，-1]
故答案為：[1-

6

，-1]

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)新定義，計(jì)算出函數(shù)f（x）在各段上的最小值．