Question

（12分）已知數(shù)列，滿足，，且（）
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式．
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）本題的已知條件中，、在所滿足的關(guān)系式中相互交叉表達，顯然無法從現(xiàn)有已知條件中直接求出、的通項公式，所以必須通過構(gòu)造新的數(shù)列來間接求解，再根據(jù)關(guān)系式中的系數(shù)特征可以看出，兩個條件相加、減后得到的結(jié)果分別構(gòu)成等差、等比數(shù)列，從而找到本題的突破口，接下來只需通過加、減消元即可得出所求；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的通項公式的基礎(chǔ)上，只需借助相關(guān)前項求和的恰當方法，不難得出所求.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)得，
可令，則（），即，
所以是首項為，公差為1的等差數(shù)列，通項公式為，
由題設(shè)得，
可令，則，即
，，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，通項公式為．
綜上所述，可得解之得：；；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
顯然是首項為，公比為的等比數(shù)列，
是首項為2，公差為的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的前和.
考點：數(shù)列的構(gòu)造思想；等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前項和；分組求和的方法；方程思想和發(fā)散思維.