【題目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，點(diǎn)在線段上.

（Ⅰ）若為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）證明：存在點(diǎn)，使得平面，并求的值.

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)平面幾何知識(shí)得為平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果，（Ⅲ）設(shè)，根據(jù)題意得與平面法向量，列式可得M坐標(biāo)，代入即得的值.

（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)，

因?yàn)檎叫?/span>，所以為中點(diǎn)

又矩形,為的中點(diǎn)

所以且

所以為平行四邊形

所以

又平面，平面

所以平面

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別以為軸建立坐標(biāo)系

則

設(shè)平面的法向量為，

由得

則

易知平面的法向量

由圖可知二面角為銳角

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）設(shè)，則

若平面，則，即

所以解得所以

所以

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：，其中，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，射線：與橢圓的交點(diǎn)為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)分別為、，當(dāng)的值在區(qū)間中變化時(shí)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)且開(kāi)口方向向左的拋物線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若函數(shù)滿足：，都有，就稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”．以下函數(shù)：①，②，③，④，其中是原點(diǎn)的“限定函數(shù)”的序號(hào)是______．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”，則的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員進(jìn)行某商品的市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷(xiāo)量就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表：

反饋點(diǎn)數(shù)t

1

2

3

4

5

銷(xiāo)量（百件）/天

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（Ⅰ）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N(xiāo)量（千件）與返還點(diǎn)數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷(xiāo)量；

（Ⅱ）若節(jié)日期間營(yíng)銷(xiāo)部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買(mǎi)該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間

（百分比）

[1,3)

[3,5)

[5,7)

[7,9)

[9,11)

[11,13)

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費(fèi)者的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知方程的曲線是圓C，

（1）若直線l：與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的值；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)T為直線n：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)T作圓C的兩條切線TG、TH，切點(diǎn)分別為G、H，求四邊形TGCH而積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知空間幾何體中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）試在平面內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明

（2）求點(diǎn)到平面的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若點(diǎn)P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動(dòng)直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三角形ABC為直角三角形，且，，E，F分別為AB，AC的中點(diǎn)，G，H分別為BE，AF的中點(diǎn)（如圖一），現(xiàn)在沿EF將三角形AEF折起至，連接，，GH（如圖二）.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)平面平面EFCB時(shí)，求異面直線GH與EF所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中， 是的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）若， ，求點(diǎn)到平面的距離.

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