Question

已知雙曲線x²-y²=a²上任一點P（x，y）到中心的距離為d，它到兩焦點的距離分別為d₁，d₂，試證明d，d₁，d₂之間滿足關系d²=d₁d₂．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的焦點坐標，運用兩點的距離公式以及點在雙曲線上滿足雙曲線方程，化簡整理，即可得證．

解答： 證明：∵雙曲線方程為：x²-y²=a²，
∴

x2

a2

-

y2

a2

=1．
半焦距c滿足：c²=a²+a²，則c=

2

a．
∴焦點坐標為F₁（-

2

a，0），F(xiàn)₂（

2

a，0），
P滿足雙曲線方程x²-y²=a²，即有y²=x²-a²，
則d=

x2+y2

=

2x2-a2

d₁=

(x+ 2 a)2+y2

=

2x2+2 2 ax+a2

，
d₂=

(x- 2 a)2+y2

=

2x2-2 2 ax+a2

即有d₁d₂=

(2x2+a2)2-8a2x2

=|2x²-a²|=2x²-a²，
則有d²=d₁d₂．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查兩點的距離公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．