Question

10．已知函數(shù)f（x）=|log₄x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為2，則m，n的值分別為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$，2
• B． $\frac{1}{4}$，4
• C． $\frac{1}{4}$，2
• D． $\frac{1}{2}$，4

Answer 1

分析 由題意和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得m＜1＜n、log₄m＜0、log₄n＞0，代入已知的等式由對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，由
f（x）的最大值和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出m、n的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|log₄x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），
∴m＜1＜n，log₄m＜0，log₄n＞0，則-log₄m=log₄n，
∴$\frac{1}{m}=n$，得mn=1，
∵f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為2，
∴f（x）在區(qū)間$[{m^2}，\frac{1}{m}]$上的最大值為2，
∴$-{log_4}{m^2}=2$，則log₄m=-1，解得$m=\frac{1}{4}，n=4$，
故選B．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．