Question

1．以坐標原點為極點x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，點A的極坐標為$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直線l的極坐標方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，且點A在直線l上．
（1）求曲線C₁的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設(shè)l向左平移6個單位后得到l′，l′與C₁的交點為M，N，求l′的極坐標方程及|MN|的長．

Answer 1

分析 （1）曲線${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，利用極坐標與直角坐標的互化公式可得極坐標方程．點A$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$在直線l：$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，代入解得a=3$\sqrt{2}$．展開進而化為直角坐標方程．
（2）l向左平移6個單位后得到l′：x+y=0．可得l′的極坐標方程為：$θ=\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．代入曲線C₁的極坐標方程即可得出．

解答 解：（1）曲線${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，展開化為：x²+y²-4x=0，
化為極坐標方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，
點A$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$在直線l：$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，可得$3\sqrt{2}$$cos（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）$=a，解得a=3$\sqrt{2}$．
∴直線l的極坐標方程展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=3$\sqrt{2}$，化為ρcosθ+ρsinθ=6．
∴直線l的直角坐標方程為x+y-6=0．
（2）l向左平移6個單位后得到l′：x+y=0．
∴l(xiāng)′的極坐標方程為：$θ=\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．
代入曲線C₁的極坐標方程ρ²-4ρcosθ=0，
可得ρ=0或ρ=4cos$\frac{3π}{4}$=-2$\sqrt{2}$．
∴|MN|=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、坐標變換、參數(shù)方程化為普通方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．