Question

已知正△ABC的三個頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB上的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（　�。�

• A、2π
• B、

  7

  4

  π
• C、3π
• D、

  9

  4

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁E、OE．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出OE=

7

2

．而經(jīng)過點(diǎn)E的球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．

解答： 解：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁E、OE，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，結(jié)合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OC中，O₁C=

R2-O1O2

=

3

．
又∵E為AB的中點(diǎn)，∴Rt△O₁EC中，O₁E=

1

2

O₁C=

3

2

．
∴Rt△OO₁E中，OE=

O1E2+O1O2

=

3 4 +1

=

7

2

．
∵過E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時截面圓的半徑r=

R2-OE2

=

22-( 7 2 )2

=

3

2

，
可得截面面積為S=πr²=

9π

4

．
故選D．

點(diǎn)評：本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．