Question

【題目】數(shù)列,定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中.

(1)若,試斷是否是等差數(shù)列,并說明理由；

(2)若證明是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)對(2)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是等差數(shù)列，理由見解析；（2）證明見解析，；（3）存在，且.

【解析】

（1）通過計(jì)算證得是等差數(shù)列.

（2）根據(jù)，得到，利用湊配法證得是等差數(shù)列,并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）先求得，由此求得，再利用組合數(shù)公式，證得符合要求.

（1）由于，所以，所以，且.所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

（2）由于，，所以，即，兩邊除以得，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即.

（3）存在，且符合題意.

依題意.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，而是等差數(shù)列，故只能.下證符合題意.

由于，所以根據(jù)組合數(shù)公式有符合題意.