Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-x²，其中a＞0，集合I={x|f（x）-a²x²＞0}
（1）求y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（2）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值（注：區(qū)間（α，β）的長度定義為β-α）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax-x²的對稱軸為x=

a

2

，開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)寫出函數(shù)的最大值；
（2）解集合I=（0，

a

1+a2

），則I長度l（a）=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

，從而由對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax-x²的對稱軸為x=

a

2

，開口向下；
則f（x）_max=

a-1，a＜2 a2 4 ，2≤a≤4 2a-4，a＞4

，
（2）由題意，I={x|f（x）-a²x²＞0}=（0，

a

1+a2

），
則設(shè)l（a）=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

，
其在（1-k，1）上單調(diào)遞增，（1，1+k）上單調(diào)遞減，
l（a）_min=min{l（1-k），l（1+k）}；
l（1-k）-l（1+k）=

1-k

1+(1-k)2

-

1+k

1+(1+k)2

=

-2k3

[1+(1-k)2][1+(1+k)2]

＜0，
∴l(xiāng)（a）_min=min{l（1-k），l（1+k）}
=l（1-k）=

1-k

1+(1-k)2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最大值的求法，同時考查了對勾函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．