Question

15．若隨機(jī)變量X～N（2，3²），且P（X≤1）=P（X≥a），則（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)是1620．

Answer 1

分析 根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)求出a的值，再化（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x²+6x+9）${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$；利用${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$展開式的通項(xiàng)公式求出含x²的系數(shù)，即可求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：隨機(jī)變量X～N（2，3²），均值是2，
且P（X≤1）=P（X≥a），
∴a=3；
∴（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x+3）²（3x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x²+6x+9）${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$；
又${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（3x）^5-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•3^5-r•${C}_{5}^{r}$•${x}^{5-\frac{3r}{2}}$，
令5-$\frac{3r}{2}$=1，解得r=$\frac{8}{3}$，不合題意，舍去；
令5-$\frac{3r}{2}$=2，解得r=2，對(duì)應(yīng)x²的系數(shù)為（-1）²•2³•${C}_{5}^{2}$=270；
令5-$\frac{3r}{2}$=3，解得r=$\frac{4}{3}$，不合題意，舍去；
∴展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)是6×270=1620．
故答案為：1620．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其幾何意義，也考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．