Question

10．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為$\frac{1}{2}$，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，則4x-y的取值范圍是（　�。�

• A． $[2，\;\;3+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$
• B． $[2，\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• C． $[3-\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• D． $[3-\;\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}，\;\;3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}]$

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程；
設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓的方程求出4x-y的取值范圍．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）
直線BD的方程為x+2y-2=0，C到BD的距離d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴以點(diǎn)C為圓心，以$\frac{1}{2}$為半徑的圓方程為（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
設(shè)P（m，n）則 $\overrightarrow{AP}$=（m，n），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1）；
∴（m，n）=（2x-y，y）
∴m=2x-y，n=y，
∵P在圓內(nèi)或圓上
∴（2x-y-1）²+（y-1）²≤$\frac{1}{4}$，
設(shè)4x-y=t，則y=4x-t，代入上式整理得
80x²-（48t+32）x+8t²+7≤0，
設(shè)f（x）=80x²-（48t+32）x+8t²+7，x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）≤0}\\{f（\frac{3}{2}）≤0}\end{array}\right.$，
解得2≤t≤3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴4x-y的取值范圍是[2，3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用問題，是綜合題．