Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a|x-1|，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，配方利用二次函數(shù)求最值；
（2）去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，配方利用二次函數(shù)的單調(diào)性，使函數(shù)在兩段上都遞增，且x≥1時的最小值大于x≤1時的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，f(x)=x2+2|x-1|=

x2+2x-2，x≥1 x2-2x+2，x＜1

=

(x+1)2-3，x≥1 (x-1)2+1，x＜1

所以當(dāng)x∈[1，2]時，[f（x）]_max=6，[f（x）]_min=1
當(dāng)x∈[0，1]時，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=1
所以f（x）在[0，2]上的最大值為6，最小值為1．            
（2）因為f(x)=

x2+ax-a，x≥1 x2-ax+a，x＜1

=

(x+ a 2 )2- a2 4 -a，x≥1 (x- a 2 )2- a2 4 +a，x＜1

而f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
所以當(dāng)x≥1時，f（x）必單調(diào)遞增，得-

a

2

≤1即a≥-2
當(dāng)0≤x＜1時，f（x）亦必單調(diào)遞增，得

a

2

≤0即a≤0
且1¹+a-a≥1¹-a+a恒成立，
故所求實數(shù)a的取值范圍為[-2，0]．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，特別是二次函數(shù)的單調(diào)性與求最值的方法，研究分段函數(shù)時要兩段上統(tǒng)籌兼顧，屬于中檔題．