Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m≠0）的一個極值點
（1）用含m的代數(shù)式表示n．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求f′（x）=3mx²+2nx，根據(jù)函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0可得：12m+4n=0，所以n=-3m；
（2）f′（x）=3mx²-6mx，要判斷f′（x）的符號，所以令f′（x）=0即可得到x=0，或2，這樣討論m＞0，m＜0兩種情況，從而判斷二次函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-∞，0），（2，+∞），（0，2）上的符號從而找出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²+2nx；
∵x=2是f（x）的一個極值點；
∴12m+4n=0；
∴n=-3m；
（2）f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx；
令f′（x）=0得x=0，或2；
①若m＞0，則x∈（-∞，0），和（2，+∞）時，f′（x）＞0；x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增，這兩個區(qū)間是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，該區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②若m＜0，則x∈（-∞，0），和（2，+∞）時，f′（x）＜0；x∈（0，2）時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，這兩個區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，該區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

點評：考查函數(shù)極值點的定義，函數(shù)在極值點處導數(shù)的情況，以及通過判斷函數(shù)導數(shù)符號，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，找單調(diào)區(qū)間的方法．