Question

下面的一組圖形為側(cè)棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面，畫出四棱錐S-ABCD的空間圖形并研究
（I）求直線SC與平面SAD所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小；
（Ⅲ）求此四棱錐S-ABCD外接球半徑與內(nèi)切球半徑之和．

Answer 1

分析：（I）證明∠DSC為直線SC與平面SAD所成的角，利用正切函數(shù)，可得結(jié)論；
（II）作BE⊥SC，垂足為E，連接DE，則DE⊥SC，可得∠BED為二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理可求；
（III）SC為S-ABCD外接于球的直徑，利用等體積法，可求內(nèi)切球半徑，從而可得結(jié)論．

解答：解：（I）如圖所示，由題意，SA=AB=a，SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線，∴SA⊥底面ABCDSA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
則CD⊥平面SAD，∴∠DSC為直線SC與平面SAD所成的角，
∵CD=a，SD=

2

a
∴tan∠DSC=

2

2

∴直線SC與平面SAD所成的角為arctan

2

2

；
（II）作BE⊥SC，垂足為E，連接DE，則DE⊥SC，
∴∠BED為二面角B-SC-D的平面角
∵BC=a，SB=

2

a，∴SC=

3

a
∴BE=

a• 2 a

3 a

=

6

3

a
在△BED中，cos∠BED=

( 6 3 a)2+( 6 3 a)2-2a2

2• 6 3 a• 6 3 a

=-

1

2

∴∠BED=120°；
（III）SC為S-ABCD外接于球的直徑，SC=

3

a，∴半徑為

3

2

a
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則

1

3

•(

1

2

a2×2+

1

2

a•

2

a×2)r=

1

3

×a2×a
∴r=(

2

-1)a
∴四棱錐S-ABCD外接球半徑與內(nèi)切球半徑之和為

3

2

a+(

2

-1)a．

點評：本題考查線面角，面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．