【題目】某廠有4臺大型機(jī)器,在一個月中,一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修,每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.

(1)若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為,求的分布列;

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不少于90%?

(3)已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修,就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤,若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值.

【答案】(1) ;(2)

【解析】試題分析:(1)首先利用題意判定該隨機(jī)變量服從二項分布,再利用二項分布的概率公式求出每個變量對應(yīng)的概率,再列表得到分布列;(2)利用互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式進(jìn)行求解;(3)列出隨機(jī)變量的所有可能取值,利用對應(yīng)關(guān)系得到每個變量的概率,列表得到分布列,進(jìn)而得到期望值.

試題解析:(1)一臺機(jī)器運行是否出現(xiàn)故障可看作一次實驗,在一次試驗中,機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為,則事件的概率為,該廠有4臺機(jī)器就相當(dāng)于4次獨立重復(fù)試驗,因出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為,故,

, ,

,

的分布列為:

(2)設(shè)該廠有名工人,則“每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障及時進(jìn)行維修”為,即, , ,這個互斥事件的和事件,則

%,

至少要3名工人,才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不少于90%.

(3)設(shè)該廠獲利為萬元,則的所有可能取值為:

,

的分布列為:

,

故該廠獲利的均值為.

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