Question

12．已知函數(shù) f （x）=x^a的圖象過點(diǎn) （4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₉₉=9．

Answer 1

分析 通過將點(diǎn)（4，2）代入函數(shù)方程可求出參數(shù)a=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可求出函數(shù)解析式，通過裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知S_n=$\sqrt{n+1}$-1，代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù) f （x）=x^a的圖象過點(diǎn) （4，2），
∴f（4）=4^a=2，即a=$\frac{1}{2}$，即f（x）=$\sqrt{x}$，
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，n∈N^*，
∴S_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∴S₉₉=$\sqrt{99+1}$-1=9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．