Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+tx²+x，g（x）=x²+tx+t+3，其中t∈R．已知函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且0≤x₁＜1時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值集合記為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）f（x₁）+f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為方程x²+tx+t+3=0有2個(gè)根，根據(jù)△＞0，得到t的范圍，從而求出集合M；
（Ⅱ）由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，從而f（x₁）+f（x₂）═-t³+4t²+11t，令h（t）=-t³+4t²+11t，（t＜-2或t＞6），求出h（t）的范圍，從而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由g（x）=x²+tx+t+3有2個(gè)零點(diǎn)，
即方程x²+tx+t+3=0有2個(gè)根，
∴△=t²-4（t+3）＞0，解得：t＜-2或t＞6，
∴M={t|t＜-2或t＞6}；
（Ⅱ）由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，
∴f（x₁）+f（x₂）
=（2x13+tx12+x₁）+（2x23+tx22+x₂）
=2（x₁+x₂）[(x1+x2)2-3x₁x₂]+t(x1+x2)2-2tx₁ x₂+（x₁+x₂）           
把x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，代入上式得：
f（x₁）+f（x₂）
=-2t[t²-3（t+3）]+t•t²-2（t+3）-t
=-t³+4t²+11t，
令h（t）=-t³+4t²+11t，（t＜-2或t＞6），
∴h′（t）=-3t²+8t+11=-（3t-11）（t+1），
當(dāng)t＜-2時(shí)，h′（t）＜0，當(dāng)t＞6時(shí)，h′（t）＜0，
∴h（t）在（-∞，-2）遞減，在（6，+∞）遞減，
而h（-2）=2，h（6）=-6，
∴h（t）＞2或h（t）＜-6，
∴f（x₁）+f（x₂）的取值范圍是{h（t）|h（t）＜-6或h（t）＞2}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．