Question

如圖，四棱錐P-ABCD的側面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，M在棱PC上，N是AD的中點，二面角M-BN-C為30°．
（1）求的值；
（2）求直線PB與平面BMN所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一（幾何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中點，可得BN⊥AD，結合側面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和線面垂直的性質可得BN⊥NE，即∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C為30°，可得∠DNE=30°，可求出DE=DP，進而得到的值；
（2）連接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連接PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，解△PBE可得直線PB與平面MBN所成的角．
解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系N-xyz，設=λ（λ＞0），則M（，，），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C為30°，求出λ值，即可得到的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），=（，0，3）為面MBN的法向量，設直線PB與平面MBN所成的角為θ，求出PB的方向向量，代入線面夾角公式sinθ=，可得直線PB與平面MBN所成的角．
解答：解法一（幾何法）：（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD=E．
∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中點，
∴BN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BN⊥平面PAD，
∴BN⊥NE，
∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，
即∠DNE=30°．…（3分）
∵PA=PD=AD，
∴∠PDN=60°，
∴∠DEN=90°，
∴DE=DP，
∴CM=CP，故=3．…（6分）
（Ⅱ）連接BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，
則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．
連接PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，
∴PB===，…（9分）
又PE=PD=，∴sin∠PBE==．
所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin．…（12分）
解法二（向量法）：
（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系N-xyz，
其中N（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），D（-1，0，0），
P（0，0，）．
設=λ（λ＞0），則M（，，），
于是=（0，，0），=（，，），…（3分）
設=（x，y，z）為面MBN的法向量，則•=0，•=0，
∴y=0，-λx+λy+z=0，取=（，0，λ），
又=（0，0，1）為面BNC的法向量，由二面角M-BN-C為30°，得
|cos＜，＞|===cos30°=，
解得λ=3，
故=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），=（，0，3）為面MBN的法向量，…（8分）
設直線PB與平面MBN所成的角為θ，由=（0，，-），得
sinθ===，
所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin．…（12分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面所成的角，其中方法一的關鍵是熟練掌握二面角及線面夾角的定義，方法二的關鍵是建立空間直角坐標系，將問題轉化為向量夾角問題．