Question

求使下列函數(shù)得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么．
（1）y=1-

1

2

cos

π

3

x，x∈R；
（2）y=3sin（2x+

π

4

），x∈R；
（3）y=-

3

2

cos（

1

2

x-

π

6

），x∈R；
（4）y=

1

2

sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域、余弦函數(shù)的定義域和值域，分別求得各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么．

解答： 解：（1）對(duì)于y=1-

1

2

cos

π

3

x，x∈R，當(dāng)

π

3

x=2kπ，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=6k，k∈z}時(shí)，cos

π

3

x取得最大值為1，函數(shù)y取得最小值為1-

1

2

=

1

2

；
當(dāng)

π

3

x=2kπ+π，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=6k+3，k∈z}時(shí)，cos

π

3

x取得最小值為-1，函數(shù)y取得最大值為1+

1

2

=

3

2

．
（2）對(duì)于y=3sin（2x+

π

4

），x∈R，當(dāng)2x=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=kπ+

π

4

，k∈z}時(shí)，
函數(shù)y取得最大值為3；
當(dāng)2x=2kπ-

π

2

，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=kπ-

π

4

，k∈z}時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-3．
（3）對(duì)于y=-

3

2

cos（

1

2

x-

π

6

），x∈R，當(dāng)

1

2

x-

π

6

=2kπ，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=4kπ+

π

3

，k∈z}時(shí)，
cos（

1

2

x-

π

6

）取得最大值為1，函數(shù)y取得最小值為-

3

2

，
當(dāng)

1

2

x-

π

6

=2kπ+π，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=4kπ+

7π

3

，k∈z}時(shí)，cos（

1

2

x-

π

6

）取得最小值為-1，
函數(shù)y取得最大值為

3

2

．
（4）對(duì)于y=

1

2

sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R，當(dāng)

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=4kπ-

5π

3

，k∈z}時(shí)，
sin（

1

2

x+

π

3

）取得最小值為-1，故函數(shù)y取得最小值為-

1

2

；
當(dāng)

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，即x∈{x|x=4kπ+

π

3

，k∈z}時(shí)，sin（

1

2

x+

π

3

）取得最大值為1，
函數(shù)y取得最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域、余弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．