已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓E的中心為原點，焦點F1、F2在x軸上，離心率為
1
3
，過點F1的直線l交E于M、N兩點，且△MNF2的周長為4
3
，設橢圓E與曲線|y|=kx（k＞0）的交點為A、B，求△OAB面積的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計算題,不等式的解法及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：運用橢圓的定義，結合△MNF2的周長為4
3
，即可 求得a，再由離心率公式，即可得到c，再由a，b，c的關系，即可得到b，進而得到橢圓方程，再聯(lián)立曲線|y|=kx（k＞0），求出交點為A、B，再求三角形OAB的面積，化簡整理，再由基本不等式，即可得到最大值．
解答： 解：由于離心率為
1
3
，即有
c
a
=
1
3
，
由于過點F1的直線l交E于M、N兩點，且△MNF2的周長為4
3
，
則|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|=4
3
，
由橢圓的定義，可得，|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
即有4a=4
3
，即有a=
3
，c=1，b=
2
，
則橢圓E的方程為：
x2
3
+
y2
2
=1，
由|y|=kx（k＞0）和橢圓E的方程聯(lián)立，
可得A（
6
2+3k2
，k
6
2+3k2
），B（
6
2+3k2
，-k
6
2+3k2
），
則|AB|=2k
6
2+3k2
，
則△OAB面積為
1
2
•2k
6
2+3k2
•
6
2+3k2
=
6k
2+3k2

=
6
3k+
2
k
（k＞0）≤
6
2
3k•
2
k
=
6
2
，
當且僅當3k=
2
k
，即k=
6
3
時，面積取最大值
6
2
．
點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出交點，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“直線l與平面?內無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的（　�。�
A、充要條件
B、充分非必要條件
C、必要非充分條件
D、既非充分又非必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中，真命題是（　　）
A、?x0∈R，ex0≤0
B、a+b=0的充要條件是
b
a
=-1
C、?x∈R，2x＞x2
D、a＞1，b＞1是ab＞1充分條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知不等式2＜2x＜8的解集為A，不等式log0.5x＜log0.52的解集為B，
（1）求A，B；
（2）求；A∪B；∁RA；
（3）若C={x|x＞a}，且（A∩B ）⊆C求a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知梯形ABCD的對角線AC和BD相交于P點，OP的延長線交BC于G，兩腰BA，CD的延長線交于O點，EF∥BC且EF過P點．證明：
（1）EP=PF；
（2）OG平分AD和BC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1=2，前n項和為Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{an}的通項公式．
（2）對n∈N+，在an和an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，BD=2
3
，CD=3，∠ABD=30°，∠ABC=60°，求AB與CD的夾角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n，n∈N+．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：（1-
1
a
2
1
）（1-
1
a
2
2
）（1-
1
a
2
3
）…（1-
1
a
2
n
）＞
2
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求使下列函數(shù)得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么．
（1）y=1-
1
2
cos
π
3
x，x∈R；
（2）y=3sin（2x+
π
4
），x∈R；
（3）y=-
3
2
cos（
1
2
x-
π
6
），x∈R；
（4）y=
1
2
sin（
1
2
x+
π
3
），x∈R．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案