Question

19．已知命題P：函數(shù)y=lg（ax²+2x+1）的定義域為R；命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立．若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題；求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題；則命題是P，Q一真一假，進而可得答案．

解答 解：當P為真時：ax²+2x+1＞0恒成立，
即△=4-4a＜0且a＞0，
解得：a＞1，
當Q為真時：
a-2=0，或$\left\{\begin{array}{l}a-2＜0\\△=4（{a-2）}^{2}+16（a-2）＜0\end{array}\right.$，
解得：-2＜a≤2，
∵P∨Q是真命題，P∧Q是假命題；
故命題是P，Q一真一假，
若P真Q假，則a＞2，
若P假Q(mào)真，則-2＜a≤1，
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為（-2，1]∪（2，+∞）．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)恒成立問題，復合命題，難度中檔．