【題目】如圖，在四棱錐中，，平分，平面，，點(diǎn)在上，.

（1）求證：平面；

（2）若，,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析.

（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)平面得，再根據(jù)已知，得平面，即得，另一方面根據(jù)計(jì)算得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以平面

所以

作交于點(diǎn)，則平面，

在中，，，設(shè)

則

易證

因?yàn)?/span>，則

所以，即，

所以平面.

（2）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)榇怪逼椒?/span>，所以為直角三角形的斜邊上的中線

所以

因?yàn)?/span>，，由，得

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即得，取，則，

由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，

所以

由圖可知，所求二面角為銳角

所以所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司做了用戶對(duì)其產(chǎn)品滿意度的問(wèn)卷調(diào)查，隨機(jī)抽取了20名用戶的評(píng)分，得到圖3所示莖葉圖，對(duì)不低于75的評(píng)分，認(rèn)為用戶對(duì)產(chǎn)品滿意，否則，認(rèn)為不滿意，

(Ⅰ)根據(jù)以上資料完成下面的2×2列聯(lián)表，若據(jù)此數(shù)據(jù)算得，則在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)5%的前提下，你是否認(rèn)為“滿意與否”與“性別”有關(guān)？

附：

(Ⅱ) 估計(jì)用戶對(duì)該公司的產(chǎn)品“滿意”的概率；

(Ⅲ) 該公司為對(duì)客戶做進(jìn)一步的調(diào)查，從上述對(duì)其產(chǎn)品滿意的用戶中再隨機(jī)選取2人，求這兩人都是男用戶或都是女用戶的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上，且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)為了吸引大家，規(guī)定：購(gòu)買(mǎi)一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)，已知甲有一張?jiān)撋虉?chǎng)的獎(jiǎng)券，且每次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05，求：

（1）甲中兩次獎(jiǎng)的概率；

（2）甲中一次獎(jiǎng)的概率；

（3）甲不中獎(jiǎng)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某超市為調(diào)查會(huì)員某年度上半年的消費(fèi)情況制作了有獎(jiǎng)?wù){(diào)查問(wèn)卷發(fā)放給所有會(huì)員，并從參與調(diào)查的會(huì)員中隨機(jī)抽取名了解情況并給予物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì).調(diào)查發(fā)現(xiàn)抽取的名會(huì)員消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)查結(jié)果按消費(fèi)金額分成組，制作成如下的頻率分布直方圖.

（1）求該名會(huì)員上半年消費(fèi)金額的平均值與中位數(shù)；（以各區(qū)間的中點(diǎn)值代表該區(qū)間的均值）

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從前組中選取人進(jìn)行消費(fèi)愛(ài)好調(diào)查，然后再?gòu)那?/span>組選取的人中隨機(jī)選人，求這人都來(lái)自第組的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列與數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，的前n項(xiàng)的和分別為，，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正方體,過(guò)對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn),交棱于點(diǎn),下列正確的是（ ）

A.平面分正方體所得兩部分的體積相等；

B.四邊形一定是平行四邊形；

C.平面與平面不可能垂直；

D.四邊形的面積有最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中）在點(diǎn)處的切線斜率為1.

（1）用表示；

（2）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，如果，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)，直線與橢圓交于,兩點(diǎn)（,兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)），若直線的斜率為時(shí)，弦的中點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）若以,兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，則直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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