Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

P F2

=

1

2

（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求橢圓的弦-3的長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可設(shè)設(shè)P（x₀，y₀），由|OP|=

10

2

⇒x02+y02=

5

2

①，由

PF1

•

PF2

=

1

2

⇒x02+y02-c²=

1

2

②，

c

a

=

6

3

③，
①②③⇒橢圓C的方程為：

x2

3

+y²=1；
（Ⅱ）解法一：由

y=x x2 3 +y2=1

得A（

3

2

，

3

2

），設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理可得則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，結(jié)合

OM

+

ON

=λ

OA

得：是x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

9m2-9

4

，m=

3

3

λ，從而用弦長公式可求得|MN|的取值范圍；
解法二：由

y=x x2 3 +y2=1

得A（

3

2

，

3

2

），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x12 3 +y12=1 x22 3 +y22=1

⇒x₁+x₂+3（y₁+y₂）•

y2-y1

x2-x1

=0…①

OM

+

ON

=λ

OA

⇒x₁+x₂=

3

2

λ，y₁+y₂=

3

2

λ，代入①，
⇒k_MN=-

1

3

，從而可得直線MN的方程為：y-

3

4

λ=-

1

3

（x-

3

4

λ），代入橢圓方程得：4y²-2

3

λy+λ²-1=0，
⇒y₁+y₂=

3

2

λ，y₁•y₂=

λ2-1

4

，⇒|MN|=

10

|y₁-y₂|=

10

•

4-λ2

2

，由λ∈（0，2）⇒0＜|MN|＜10．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|OP|=

10

2

得：x02+y02=

5

2

，…（1分）
由

PF1

•

PF2

=

1

2

得：（-c-x₀，-y₀）-（c-x₀，-y₀）=

1

2

，即x02+y02-c²=

1

2

，…（2分）
∴c=

2

，又因?yàn)?span id="g0s09ir" class="MathJye">

c

a

=

6

3

，
∴a²=3，b²=1 …（3分）
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y²=1；            …（4分）
（Ⅱ）解法一：由

y=x x2 3 +y2=1

得A（

3

2

，

3

2

），
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0   …（5分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，…（6分）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+3k2

，
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，
∴x₁+x₂=

3

2

λ，y₁+y₂=

3

2

λ，
∴

- 6km 1+3k2 = 3 2 λ 2m 1+3k2 = 3 2 λ

得：k_MN=-

1

3

，m=

3

3

λ，
于是x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

9m2-9

4

，…（8分）
∴|MN|=

1+( - 1 3 )2

|x₁-x₂|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

．…（10分）
又λ∈（0，2），
∴m∈(0，

2 3

3

)，
∴0＜4-3m²＜4，
∴0＜|MN|＜10…（12分）
解法二：由

y=x x2 3 +y2=1

得A（

3

2

，

3

2

），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x12 3 +y12=1 x22 3 +y22=1

，
∴x₁+x₂+3（y₁+y₂）•

y2-y1

x2-x1

=0…①…（5分）
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，
∴x₁+x₂=

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