Question

【題目】（理科）已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．
（1）當(dāng)t≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或 ．

1°當(dāng)t＞0時(shí)，f'（x）＞0的解集為

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 ，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為 ．

2°當(dāng)t＜0時(shí)，f'（x）＜0的解集為

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 ，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為

（2）證明：由（1）可知，當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）在 內(nèi)遞減， 內(nèi)單調(diào)遞增．

1°當(dāng) ，即t≥2時(shí)，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3＜0

∴f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．

2°當(dāng)0＜ ＜1，即0＜t＜2時(shí)，f（x）在 內(nèi)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增．

若 ＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t＞0

∴f（x）在 內(nèi)存在零點(diǎn)．

若 ＜0，f（0）=t﹣1＞0

∴f（x）在 內(nèi)存在零點(diǎn)．

∴對(duì)任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)

【解析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中所求的單調(diào)區(qū)間對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用零點(diǎn)存在定理證明命題成立.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．