Question

13．（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），求證：$\frac{z-1}{z+1}$為實(shí)數(shù)的充要條件是b=0．
（2）證明：當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可證明；
（2）利用分析法與不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 證明：（1）$\frac{z-1}{z+1}$=$\frac{a+bi-1}{a+bi+1}$=$\frac{[a-1+bi][（a+1）-bi]}{（a+1+bi）（a+1-bi）}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1+2bi}{（a+1）^{2}+^{2}}$為實(shí)數(shù)?$\frac{2b}{（a+1）^{2}+^{2}}$=0?b=0．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$?$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$?$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}$，而分母0＜$\sqrt{a}+\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a}+\sqrt{a+1}$，因此成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、分析法與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．